Thành phố, khách sạn, điểm đến29-30 May, 2 Khách, 1 đêm
Tìm kiếm
Ngày đến Wed, May 29
1
Ngày vềThu, May 30
Số phòng, số khách1 phòng, 2 người lớn, 0 trẻ em

Hình học 'Khó Chịu' Phá Vỡ Một Hệ Định Lý Trải Nghiệm Tuiles Hàng Thập Kỷ

Bởi: Minprice.com
26/03/20240like

Một trong những vấn đề cổ điển và đơn giản nhất trong hình học đã làm cho những nhà toán học bất ngờ - và không phải lần đầu tiên.

Từ thời cổ đại, nghệ sĩ và nhà hình học đã tò mò về cách các hình dạng có thể lát khắp mặt phẳng mà không có khoảng trống hoặc chồng lấp. Và tuy nhiên, “không nhiều thông tin được biết cho đến thời gian khá gần đây,” nói Alex Iosevich, một nhà toán học tại Đại học Rochester.

Các bức tranh lát nổi bật nhất lặp lại: Dễ dàng bao phủ sàn nhà bằng các bản sao của hình vuông, tam giác hoặc hình lục giác. Vào thập kỷ 1960, những nhà toán học đã phát hiện ra các bộ gạch kỳ lạ có thể phủ toàn bộ mặt phẳng, nhưng chỉ theo cách không bao giờ lặp lại.

không xác định

“Bạn muốn hiểu cấu trúc của những bức tranh lát như thế,” nói Rachel Greenfeld, một nhà toán học tại Viện Nghiên cứu Nâng cao ở Princeton, New Jersey. “Chúng có thể trở nên điên đảo đến mức nào?”

Khá điên rồ, hóa ra.

Mô hình không lặp lại đầu tiên, hoặc mô hình không chu kỳ, dựa vào một bộ gạch với 20,426 loại khác nhau. Những nhà toán học muốn biết liệu họ có thể giảm số lượng đó xuống được hay không. Đến giữa thập kỷ 1970, Roger Penrose (người sau đó đã đoạt giải Nobel Vật lý năm 2020 vì công trình về lỗ đen) đã chứng minh rằng một bộ gạch đơn giản chỉ gồm hai loại, được đặt tên là “kites” và “darts,” đã đủ.

Không khó để tạo ra các mô hình không lặp lại. Nhiều bức tranh lát lặp lại, hoặc có chu kỳ, có thể được điều chỉnh để tạo ra những bức tranh không lặp lại. Hãy tưởng tượng, chẳng hạn, một lưới vô hạn các ô vuông, được căn chỉnh giống như bảng cờ. Nếu bạn dịch chuyển mỗi hàng sao cho nó bị lệch đi một lượng riêng biệt từ hàng ở phía trên, bạn sẽ không bao giờ có thể tìm ra một khu vực có thể cắt và dán giống như một con dấu để tạo ra toàn bộ bức tranh.

Bí quyết thực sự là tìm ra bộ gạch - giống như của Penrose - có thể phủ toàn bộ mặt phẳng, nhưng chỉ theo cách không lặp lại.

Hai viên gạch của Penrose đặt ra câu hỏi: Liệu có thể có một viên gạch duy nhất, có hình dạng một cách thông minh, phù hợp với yêu cầu không?

Ngạc nhiên, câu trả lời cuối cùng lại là có - nếu bạn được phép dịch chuyển, xoay và phản chiếu viên gạch, và nếu viên gạch không liên kết, có nghĩa là nó có khoảng trống. Những khoảng trống này được điền bởi các bản sao khác của viên gạch được xoay phù hợp, phản chiếu phù hợp, cuối cùng làm phủ toàn bộ mặt phẳng hai chiều. Nhưng nếu bạn không được phép xoay hình dạng này, thì không thể lát gạch mặt phẳng mà không để lại khoảng trống.

Thực sự, vài năm trước đây, nhà toán học Siddhartha Bhattacharya đã chứng minh rằng - bất kể bạn tạo ra một thiết kế viên gạch phức tạp hay tinh tế như thế nào - nếu bạn chỉ có thể sử dụng dịch chuyển, hoặc biến dịch, của một viên gạch duy nhất, thì không thể tạo ra một viên gạch có thể phủ toàn bộ mặt phẳng một cách không chu kỳ mà không có chu kỳ.

Những nhà toán học đoán rằng kết quả hai chiều của Bhattacharya sẽ cũng áp dụng trong không gian đa chiều cao hơn. Giống như không có viên gạch không chu kỳ hai chiều, họ giả định rằng không có khối ba chiều thích hợp (hoặc viên gạch phức tạp hơn) tồn tại, và tiếp tục như vậy trong một số chiều lớn tùy ý.

Giả thuyết này được đặt tên là giả thuyết lát chu kỳ.

Trong một bản thảo được đăng vào tháng 11, Greenfeld, cùng với Terence Tao của UCLA, cuối cùng đã giải quyết được sự phỏng đoán - nhưng không theo cách những nhà toán học đã dự kiến. Họ xây dựng một viên gạch có thể lát một không gian nhiều chiều theo cách không chu kỳ, nhưng không thể làm như vậy theo chu kỳ, do đó làm phủ phỏng đoán.

“Đó là một điều bất ngờ. Tôi mong đợi phỏng đoán đó đúng ở mọi chiều,” nói Mihalis Kolountzakis, một nhà toán học tại Đại học Crete. “Nhưng tôi đoán ở chiều đủ lớn, trực giác không đi xa được.”

Viên gạch kỳ lạ không chỉ đáng chú ý vì đẩy ranh giới của những gì có thể hình học và những gì không thể. Nó còn liên quan chặt chẽ đến những câu hỏi vượt ra khỏi hình học - bao gồm cả những câu hỏi về giới hạn của logic chính nó.

Bước chuyển động

Năm 2019, Greenfeld đến UCLA làm nghiên cứu viên sau tiến sĩ, và cùng với Tao - cả hai đã làm việc độc lập trên một vấn đề khác liên quan đến lát dịch chuyển - họ nhắm đến việc chứng minh giả thuyết lát chu kỳ.

Vì giả thuyết đã được biết đến là đúng ở một và hai chiều, họ cố gắng chứng minh nó ở chiều ba: chứng minh rằng nếu bạn có thể dịch chuyển bản sao của một hình dạng để lát toàn bộ không gian ba chiều, thì phải có cách để lát không gian theo chu kỳ.

Họ đã đạt được một số tiến triển, tái chứng minh giả thuyết ở hai chiều bằng các kỹ thuật khác nhau - những kỹ thuật mà họ hy vọng sẽ áp dụng được vào trường hợp ba chiều. Nhưng rồi họ gặp một bức tường. “Ở một số điểm nào đó, chúng tôi cảm thấy thất vọng và nói, 'OK, có lẽ có lý do tại sao chúng tôi không thể chứng minh giả thuyết này ở chiều cao hơn. Chúng ta nên bắt đầu tìm kiếm những ví dụ phản chứng,'” Tao nói.

Họ tìm trong văn bản để tìm các cấu trúc không chu kỳ khác, bắt đầu từ cái đầu tiên: bộ hơn 20,000 viên gạch, được xuất bản vào năm 1964, có thể phủ mặt phẳng thông qua dịch chuyển, nhưng chỉ không chu kỳ. Sau đó, họ bắt đầu phát triển kỹ thuật mới để xây dựng một viên gạch không chu kỳ duy nhất.

Họ bắt đầu với một sự thay đổi về cài đặt. Giả sử bạn muốn lát không gian hai chiều. Thay vì cố gắng lát một mặt phẳng liên tục, hãy xem xét một lưới hai chiều, một dãy vô hạn các điểm được sắp xếp thành lưới. Bây giờ, bạn có thể định nghĩa một viên gạch như một tập hợp hữu hạn các điểm trên lưới đó; nếu bạn có một lát đúng, thì bạn có thể che phủ mọi điểm trên lưới một cách chính xác bằng cách sao chép tập hợp hữu hạn đó và trượt chúng xung quanh.

Chứng minh giả thuyết lát chu kỳ 'rời rạc' cho các lưới có số chiều cao là một vấn đề khác một chút so với việc chứng minh phiên bản liên tục của giả thuyết, vì có những lát có thể thực hiện được trên lưới nhưng không trên không gian liên tục. Nhưng chúng liên quan. Greenfeld và Tao dự định tạo ra một ví dụ phản chứng rời rạc cho giả thuyết mà sau đó họ có thể sửa đổi để áp dụng trong trường hợp liên tục cũng.

Vào mùa hè năm 2021, họ đã gần đạt được, tìm ra hai viên gạch trong một không gian có số chiều rất lớn. Các viên gạch có thể lấp đầy không gian mà chúng chiếm, nhưng chỉ không chu kỳ. “Điều này chưa đủ,” Greenfeld nói. “Hai là rất gần, nhưng việc lát bằng hai viên gạch ít chặt chẽ hơn việc lát bằng một viên gạch duy nhất.” Mất thêm một năm và nửa để họ tạo ra một ví dụ phản chứng thực sự cho giả thuyết lát chu kỳ.

Bánh Mì Gạch

Họ bắt đầu bằng cách tạo ra một ngôn ngữ mới, viết lại vấn đề của họ dưới dạng một loại phương trình đặc biệt. Biến chưa biết 'x' trong phương trình này - cái họ cần giải quyết - đại diện cho tất cả các cách có thể để lát một không gian có số chiều cao. “Nhưng mô tả mọi thứ chỉ bằng một phương trình là khó,” Tao nói. “Đôi khi bạn cần nhiều phương trình để mô tả một tập hợp thực sự phức tạp trong không gian.”

Không xác định

Vì vậy, Greenfeld và Tao đã đặt lại câu hỏi mà họ đang cố giải quyết. Họ nhận ra rằng họ có thể thay thế bằng cách tạo ra một hệ thống các phương trình, trong đó mỗi phương trình sẽ mã hóa một hạn chế khác nhau đối với giải pháp của họ. Điều này cho phép họ phân rã vấn đề của mình thành một câu hỏi về nhiều viên gạch khác nhau - trong trường hợp này, các viên gạch mà tất cả đều che phủ một không gian cụ thể bằng cách sử dụng cùng một bộ dịch chuyển.

Ví dụ, trong hai chiều, bạn có thể lát mặt phẳng bằng một hình vuông bằng cách trượt lên, xuống, sang trái hoặc sang phải, mỗi lần một đơn vị. Nhưng các hình dạng khác cũng có thể lát mặt phẳng bằng cách sử dụng chính bộ dịch chuyển tuyệt đối như nhau: ví dụ, một hình vuông có một cái lõm được thêm vào mép bên phải và được loại bỏ khỏi mép bên trái, giống như một mảnh ghép của trò chơi xây hình.

Nếu bạn lấy một hình vuông, một mảnh ghép, và các viên gạch khác sử dụng cùng một bộ dịch chuyển, và sau đó xếp chúng lại với nhau như các lớp thịt trong một ổ bánh mì, bạn có thể tạo ra một viên gạch sử dụng một bộ duy nhất các dịch chuyển để phủ không gian ba chiều. Greenfeld và Tao sẽ cần làm điều này trong nhiều chiều hơn.

“Vì chúng tôi đã làm việc trong các chiều cao, thêm một chiều nữa thực sự không gây hại cho chúng tôi,” Tao nói. Thay vào đó, nó mang lại cho họ tính linh hoạt bổ sung mà họ cần để có được một giải pháp tốt.

Các nhà toán học cố gắng đảo ngược quy trình xây dựng bánh mì này, viết lại vấn đề lát có số chiều cao một phương trình như một loạt các phương trình lát trong các chiều thấp hơn. Những phương trình đó sau này sẽ quyết định hình dạng xây dựng viên gạch có số chiều cao hơn sẽ như thế nào.

Greenfeld và Tao nghĩ về hệ thống các phương trình lát của họ như là một chương trình máy tính: Mỗi dòng mã, hoặc phương trình, là một lệnh, và kết hợp các lệnh có thể tạo ra một chương trình đạt được một mục tiêu cụ thể. “Mạch logic được xây dựng từ những đối tượng rất cơ bản, những cổng AND và cổng OR và những thứ tương tự, mỗi thứ không thực sự thú vị,” Tao nói. “Nhưng bạn có thể xếp chúng lại, và bạn có thể tạo ra một mạch sẽ vẽ một sóng sine hoặc truyền thông trên internet.”

“Vì vậy, chúng tôi bắt đầu xem xét vấn đề của mình như một vấn đề lập trình,” ông tiếp tục. Mỗi lệnh của họ sẽ là một thuộc tính khác nhau mà lát cuối cùng của họ cần phải đáp ứng, để chương trình trong tổng thể sẽ đảm bảo rằng bất kỳ lát nào phù hợp với tất cả các tiêu chí phải là không chu kỳ.

Câu hỏi, sau đó, là về loại thuộc tính nào họ cần mã hóa trong tất cả các phương trình lát đó để làm cho điều đó xảy ra. Một viên gạch trong một lớp của ổ bánh mì, ví dụ, có thể được hình thành theo cách mà chỉ cho phép một số loại chuyển động. Những nhà toán học sẽ phải xây dựng danh sách các ràng buộc của họ một cách cẩn thận - sao cho nó không bị hạn chế đến mức loại trừ bất kỳ giải pháp nào, nhưng đủ hạn chế để loại trừ tất cả các giải pháp có chu kỳ.

“Trò chơi ở đây là xây dựng mức độ ràng buộc đúng,” Greenfeld nói, “để mã hóa câu đố đúng.”

Sudoku Vô Hạn

Câu đố mà Greenfeld và Tao hy vọng sẽ lập trình bằng các phương trình lát của họ là một lưới với một số hàng vô hạn và một số cột lớn nhưng hữu hạn. Các nhà toán học cố gắng điền vào mỗi hàng và đường chéo với các dãy số cụ thể tương ứng với loại ràng buộc mà họ có thể mô tả bằng các phương trình lát: điều gì đó họ gần giống như một trò sudoku khổng lồ. Sau đó, đôi bạn tìm ra các dãy số không chu kỳ - có nghĩa là giải pháp cho hệ thống phương trình lát liên quan cũng là không chu kỳ. “Cơ bản chỉ có một giải pháp cho câu đố này, và nó là một thứ hài hước gần như nhưng không hoàn toàn chu kỳ,” Tao nói. “Việc này mất rất nhiều thời gian để tìm ra.”

“Loại hình này, nơi bạn nghiên cứu các hàm gần chu kỳ nhưng không hoàn toàn, là điều đã tồn tại trong toán học,” Izabella Łaba, một nhà toán học tại Đại học British Columbia, nói. “Nhưng đây là một cách sử dụng cấu trúc loại hình đó rất khác nhau.”

Như Iosevich nói, Greenfeld và Tao “tạo ra một đối tượng hoàn toàn cơ bản và nâng lên một tình huống nơi mọi thứ trông phức tạp hơn.”

Không xác định

Công trình đánh dấu một cách mới để xây dựng các viên gạch không chu kỳ - một cách mà Greenfeld và Tao hiện nay nghĩ có thể áp dụng để chứng minh các phỏng đoán khác liên quan đến việc lát gạch. Điều đó, lẽ ra, sẽ cho phép các nhà toán học đẩy xa hơn ở những ranh giới nơi sự phức tạp có thể xuất hiện. "Dường như có một nguyên tắc đang nổi lên rằng hình học nhiều chiều cao là khó chịu", Tao nói. "Có thể xuất hiện các biến thể, và sự hiểu biết mà chúng ta có từ hai và ba chiều có thể là đầy đủ."

Công trình này cũng đặt ra những câu hỏi không chỉ về giới hạn của trực giác con người mà còn về giới hạn của lý luận toán học. Thập kỷ 1930, nhà toán học Kurt Gödel đã chứng minh rằng mọi hệ thống logic đủ để phát triển toán học cơ bản đều không hoàn chỉnh: Có các tuyên bố không thể chứng minh hoặc bác bỏ trong hệ thống đó. Toán học, hóa ra, đầy rẫy các tuyên bố "không thể quyết định được".

Theo một cách tương tự, toán học cũng đầy các vấn đề không thể quyết định được tính toán - các vấn đề không thể giải quyết được bằng bất kỳ thuật toán nào trong một khoảng thời gian hữu hạn. Nhà toán học phát hiện vào thập kỷ 1960 rằng các vấn đề về lát gạch cũng có thể là không thể quyết định được. Nghĩa là, đối với một số bộ hình dạng, bạn có thể chứng minh rằng không thể tìm ra trong thời gian hữu hạn liệu chúng có thể lát gạch không. (Cách duy nhất để làm điều đó, in lý thuyết, sẽ là xem xét tất cả các cách có thể để đặt gạch kề nhau, đến khi cuối cùng của thời gian.)

"Đó là một vấn đề rất dễ diễn đạt, nhưng tuy nhiên nằm ngoài phạm vi của toán học," Richard Kenyon, một nhà toán học tại Đại học Yale nói. "Đó không phải là ví dụ đầu tiên về tình huống này, nơi một lý thuyết toán học nhất định là không thể quyết định hoặc không hoàn chỉnh, nhưng đó thực sự là ví dụ cụ thể nhất."

Năm ngoái, Greenfeld và Tao phát hiện rằng một tuyên bố chung về cặp gạch nhiều chiều là không thể quyết định: Họ chứng minh rằng không ai sẽ bao giờ có thể tìm ra xem liệu có thể làm cho một số cặp gạch nhất định có thể che phủ hoàn toàn không gian mà chúng chiếm đó (có chu kỳ hoặc không chu kỳ).

Liệu một tuyên bố về một viên gạch duy nhất cũng có thể là không thể quyết định không? Đã từ thập kỷ 1960, nếu giả thuyết về lát gạch chu kỳ là đúng, thì luôn có thể xác định xem bất kỳ viên gạch cụ thể nào có thể che phủ mặt phẳng hay không.

Nhưng ngược lại không nhất thiết đúng. Chỉ vì một viên gạch không chu kỳ tồn tại, đó không ngụ ý rằng một viên gạch không thể quyết định tồn tại.

Đó là điều mà Greenfeld và Tao muốn tìm hiểu tiếp theo, sử dụng một số kỹ thuật mà họ phát triển cho kết quả gần đây của họ. "Khá có lý, chúng tôi nghĩ, rằng ngôn ngữ chúng tôi tạo ra có thể tạo ra một câu đố không thể quyết định được," Tao nói. "Vì vậy, có thể có một viên gạch mà chúng ta sẽ không bao giờ có thể chứng minh rằng nó có thể lát gạch không gian hoặc không lát gạch không gian."

Để chứng minh rằng một tuyên bố không thể quyết định, những nhà toán học thường chỉ ra rằng nó tương đương với một câu hỏi khác mà đã biết là không thể quyết định. Do đó, nếu vấn đề lát gạch này cuối cùng được chứng minh là không thể quyết định, nó có thể phục vụ như một công cụ nữa để chứng minh không thể quyết định trong các ngữ cảnh khác—các ngữ cảnh xa vời hơn nhiều so với những câu hỏi về cách lát gạch không gian.

Trong khi đó, kết quả của Greenfeld và Tao có tác dụng như một cảnh báo một cách nào đó. "Những nhà toán học thích những tuyên bố đẹp, sáng sủa," Iosevich nói. "Nhưng đừng tin tất cả những gì bạn nghe ... Thật không may, nó không phải là sự thật rằng tất cả những tuyên bố thú vị trong toán học đều cần phải đẹp, và rằng chúng cần phải diễn ra theo cách chúng ta muốn."

Bài viết gốc được tái bản với sự cho phép của Quanta Magazine, một tờ báo độc lập về biên tập của Quỹ Simons, có sứ mệnh làm tăng cường sự hiểu biết công cộng về khoa học bằng cách đưa ra những phát triển nghiên cứu và xu hướng trong toán học và các ngành khoa học vật lý và sinh học.